પદાવલિ $\lfloor \tan^{-1} x - \tan^{-1} y \rfloor - \lfloor \sin^{-1} u - \sin^{-1} v \rfloor$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો,જ્યાં $\lfloor . \rfloor$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે અને $x, y, u, v$ સ્વતંત્ર વાસ્તવિક ચલ છે.

અસમતા $(\tan^{-1} x)(\cot^{-1} x) - (\tan^{-1} x)(1 + \frac{\pi}{2}) - 2\cot^{-1} x + 2(1 + \frac{\pi}{2}) > \lim_{x \to \infty} [\sec^{-1} x - \frac{\pi}{2}]$ નો ઉકેલ ગણ શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે):

ધારો કે $f(x) = \cot \left( \sin^{-1} \sqrt{\frac{2}{3 + \cos 2x}} \right)$ છે. તો $f'\left( \frac{2\pi}{3} \right)$ ની કિંમત શોધો.

$x \in (-1, 1]$ માટે,સમીકરણ $\sin^{-1} x = 2 \tan^{-1} x$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

અસમતા $(\sec^{-1}x - 4)(\sec^{-1}x - 1)(\sec^{-1}x - 2) \ge 0$ નો સંપૂર્ણ ઉકેલ ગણ શોધો.

ધારો કે $\alpha = 3 \sin^{-1}(\frac{6}{11})$ અને $\beta = 3 \cos^{-1}(\frac{4}{9})$, જ્યાં પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો ફક્ત મુખ્ય કિંમતો લે છે. નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન $I$: $\cos(\alpha + \beta) > 0$.
વિધાન $II$: $\cos(\alpha) < 0$.
ઉપરના વિધાનોના પ્રકાશમાં, નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો: