સમીકરણ x_1 + x_2 = 100 માટે પ્રાકૃતિક સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) સમીકરણ $x_1 + x_2 = 100$ છે,જ્યાં $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$.કુલ પ્રાકૃતિક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n-1}{k-1} = \binom{100-1}{2-1} = \binom{99}{1} =

Vedclass · Accepted Answer

$80$

Vedclass · Answer

(C) સમીકરણ $x_1 + x_2 = 100$ છે,જ્યાં $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$.કુલ પ્રાકૃતિક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n-1}{k-1} = \binom{100-1}{2-1} = \binom{99}{1} = 99$ છે.આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવાના છે જ્યાં $x_1$ અથવા $x_2$ એ $5$ ના ગુણક હોય.જો $x_1$ એ $5$ નો ગુણક હોય,તો $x_1 \in \{5, 10, 15, \dots, 95\}$. આવા $19$ મૂલ્યો છે.જો $x_1 = 5k$ હોય,તો $5k + x_2 = 100 \implies x_2 = 100 - 5k = 5(20-k)$.$x_2$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $20-k \ge 1 \implies k \le 19$. આમ,$19$ ઉકેલો છે જ્યાં $x_1$ એ $5$ નો ગુણક છે.તે જ રીતે,$19$ ઉકેલો છે જ્યાં $x_2$ એ $5$ નો ગુણક છે.જો $x_1$ અને $x_2$ બંને $5$ ના ગુણક હોય,તો $x_1 = 5k$ અને $x_2 = 5m$,તેથી $5k + 5m = 100 \implies k + m = 20$.$k+m=20$ માટે પ્રાકૃતિક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{20-1}{2-1} = 19$ છે.Inclusion-Exclusion ના સિદ્ધાંત મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $5$ નો ગુણક હોય તેવા ઉકેલોની સંખ્યા $19 + 19 - 19 = 19$ છે.તેથી,જે ઉકેલોમાં કોઈ પણ $5$ નો ગુણક ન હોય તેની સંખ્યા $99 - 19 = 80$ છે.

સમીકરણ $x_1 + x_2 = 100$ માટે પ્રાકૃતિક સંખ્યા ઉકેલોની સંખ્યા શોધો,જ્યાં $x_1$ અને $x_2$ એ $5$ ના ગુણક ન હોય.

Similar Questions

સમીકરણો $2x^2 - 5x + 1 = 0$ અને $x^2 + 5x + 2 = 0$ ના બીજ કેવા છે?

$k$ ના કેટલા મૂલ્યો માટે સમીકરણ $x^2 - 3x + k = 0$ ના બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ અંતરાલ $(0, 1)$ માં આવેલા છે?

સમીકરણ $\ln(\ln x) = \log_x e$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\sin A, \sin B, \cos A$ એ $G.P.$ માં હોય,તો ${x^2} + 2x \cot B + 1 = 0$ ના બીજ હંમેશા કેવા હોય?

આપેલા બે સમીકરણો ઉકેલો અને આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો.
$I.$ $x = \sqrt{625}$
$II.$ $y = \sqrt{676}$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module