સમીકરણ xyz = 90 ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $xyz = 90$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે પહેલા $90$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.$90 = 2^1 	imes 3^2 	imes 5^1$.$x, y, z$ ધન પૂર્ણાંકો હોવાથ

Vedclass · Accepted Answer

$54$

Vedclass · Answer

(C) $xyz = 90$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે પહેલા $90$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.$90 = 2^1 	imes 3^2 	imes 5^1$.$x, y, z$ ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેઓ $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,અને $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$ સ્વરૂપમાં હોવા જોઈએ.ગુણાકાર $xyz = 2^{a_1+a_2+a_3} 	imes 3^{b_1+b_2+b_3} 	imes 5^{c_1+c_2+c_3} = 2^1 	imes 3^2 	imes 5^1$.આનાથી આપણને ઘાતાંકો માટે ત્રણ સ્વતંત્ર સમીકરણો મળે છે:$a_1 + a_2 + a_3 = 1$,જ્યાં $a_i \ge 0$.અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા 'સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ' સૂત્ર $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ દ્વારા મળે છે.$b_1 + b_2 + b_3 = 2$,જ્યાં $b_i \ge 0$.ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$ છે.$c_1 + c_2 + c_3 = 1$,જ્યાં $c_i \ge 0$.ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ છે.કુલ ઉકેલોની સંખ્યા દરેક અવિભાજ્ય અવયવ માટેના ઉકેલોનો ગુણાકાર છે: $3 	imes 6 	imes 3 = 54$.

સમીકરણ $xyz = 90$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

$n$ પુસ્તકોને હારમાં કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી બે ચોક્કસ પુસ્તકો સાથે ન હોય?

જો કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે,તો $3$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$n$ વસ્તુઓમાંથી એક સમયે $r$ વસ્તુઓ લઈને બનતા ક્રમચયોની સંખ્યા શોધો,જ્યારે $p$ વસ્તુઓ હંમેશા સામેલ હોય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module