3x^2 - 2x^3 = log_2 (x^2 + 1) - log_2 x समीकर | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = 3x^2 - 2x^3$ और $g(x) = \log_2 (x^2 + 1) - \log_2 x = \log_2 \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \log_2 \left( x + \frac{1}{x} \right)

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$1$

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(A) माना $f(x) = 3x^2 - 2x^3$ और $g(x) = \log_2 (x^2 + 1) - \log_2 x = \log_2 \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \log_2 \left( x + \frac{1}{x} \right)$.$x > 0$ के लिए,$AM-GM$ असमिका के अनुसार,$x + \frac{1}{x} \geq 2$,इसलिए $g(x) = \log_2 \left( x + \frac{1}{x} \right) \geq \log_2(2) = 1$. $g(x)$ का न्यूनतम मान $1$ है,जो $x = 1$ पर प्राप्त होता है।अब $f(x) = 3x^2 - 2x^3$ पर विचार करें। इसका अवकलन $f'(x) = 6x - 6x^2 = 6x(1 - x)$ है।$0  0$ और $x > 1$ के लिए $f'(x) अधिकतम मान $f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 3 - 2 = 1$ है।चूंकि $f(x)$ का अधिकतम मान $1$ है और $g(x)$ का न्यूनतम मान $1$ है,इसलिए समीकरण $f(x) = g(x)$ केवल तभी सत्य हो सकता है जब $f(x) = 1$ और $g(x) = 1$ एक साथ हों।यह केवल $x = 1$ पर होता है।अतः,केवल $1$ हल प्राप्त होता है।

$3x^2 - 2x^3 = \log_2 (x^2 + 1) - \log_2 x$ समीकरण को संतुष्ट करने वाले हलों की संख्या क्या है?

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