$LCR$ શ્રેણી $AC$ પરિપથ માટે તત્કાલીન પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેના કળા સંબંધ માટેનું વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ મેળવો.

(N/A) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથ માટે વોલ્ટેજનું સમીકરણ કિર્ચોફના વોલ્ટેજના નિયમ મુજબ:
$L \frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = V$
$V = V_m \sin \omega t$ મૂકતા:
$L \frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$ ... $(1)$
$I = \frac{dq}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$
$L$ વડે ભાગતા:
$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{q}{LC} = \frac{V_m}{L} \sin \omega t$ ... $(2)$
આ સમીકરણ બળપૂર્વકના,અવમંદિત દોલક જેવું છે. ધારો કે ઉકેલ $q = q_m \sin(\omega t + \theta)$ છે ... $(3)$
તેથી $\frac{dq}{dt} = q_m \omega \cos(\omega t + \theta)$ ... $(4)$ અને $\frac{d^2q}{dt^2} = -q_m \omega^2 \sin(\omega t + \theta)$ ... $(5)$
$(3), (4)$ અને $(5)$ ની કિંમતો $(2)$ માં મૂકતા:
$-q_m \omega^2 L \sin(\omega t + \theta) + R q_m \omega \cos(\omega t + \theta) + \frac{q_m}{C} \sin(\omega t + \theta) = V_m \sin \omega t$
$q_m \omega [R \cos(\omega t + \theta) + (\frac{1}{\omega C} - \omega L) \sin(\omega t + \theta)] = V_m \sin \omega t$
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ અને $X_L = \omega L$ તથા ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ લેતા,$\cos \phi = \frac{R}{Z}$ અને $\sin \phi = \frac{X_L - X_C}{Z}$ વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આનાથી કળા સંબંધ મળે છે જ્યાં પ્રવાહ $I = I_m \sin(\omega t + \phi)$ એ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = \tan^{-1}(\frac{X_L - X_C}{R})$ જેટલા કળા તફાવતથી આગળ કે પાછળ હોય છે.