100 text{ cm}^3 के दिए गए आयतन वाले सभी बंद ब | vedclass

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Question

(A) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।दिया गया आयतन $V = \pi r^2 h = 100 	ext{ cm}^3$ है।अतः,$h = \frac{100}{\pi r^2}$।बेलन का पृष्ठीय क्षेत्

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त्रिज्या $= \left(\frac{50}{\pi}ight)^{1/3} 	ext{ cm}$,ऊँचाई $= 2\left(\frac{50}{\pi}ight)^{1/3} 	ext{ cm}$

Vedclass · Answer

(A) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।दिया गया आयतन $V = \pi r^2 h = 100 	ext{ cm}^3$ है।अतः,$h = \frac{100}{\pi r^2}$।बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ है।$h$ का मान रखने पर,$S = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{100}{\pi r^2}ight) = 2\pi r^2 + \frac{200}{r}$।$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{200}{r^2}$।$\frac{dS}{dr} = 0$ रखने पर,$4\pi r = \frac{200}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{50}{\pi} \Rightarrow r = \left(\frac{50}{\pi}ight)^{1/3}$।द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$\frac{d^2S}{dr^2} = 4\pi + \frac{400}{r^3}$। चूँकि $r > 0$,इसलिए $\frac{d^2S}{dr^2} > 0$,अतः $r = \left(\frac{50}{\pi}ight)^{1/3}$ पर $S$ न्यूनतम है।तब $h = \frac{100}{\pi (50/\pi)^{2/3}} = 2 \left(\frac{50}{\pi}ight)^{1/3}$।अतः,न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए विमाएँ $r = \left(\frac{50}{\pi}ight)^{1/3} 	ext{ cm}$ और $h = 2\left(\frac{50}{\pi}ight)^{1/3} 	ext{ cm}$ हैं।

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