x-अक्ष पर और मूलबिंदु से x दूरी पर,द्रव्यमान | vedclass

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Question

(A) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E_G$ और गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ के बीच का संबंध $V(x) = -\int_{\infty}^{x} E_G \cdot dx$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है $E_

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$\frac{A}{(x^2+a^2)^{1/2}}$

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(A) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E_G$ और गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ के बीच का संबंध $V(x) = -\int_{\infty}^{x} E_G \cdot dx$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है $E_G = \frac{Ax}{(x^2+a^2)^{3/2}}$.इस मान को समाकलन में रखने पर:$V(x) = -\int_{\infty}^{x} \frac{Ax}{(x^2+a^2)^{3/2}} dx$.मान लीजिए $u = x^2 + a^2$,तो $du = 2x dx$,या $x dx = \frac{du}{2}$.जब $x 	o \infty$,तब $u 	o \infty$. जब $x = x$,तब $u = x^2 + a^2$.$V(x) = -\int_{\infty}^{x^2+a^2} \frac{A}{u^{3/2}} \cdot \frac{du}{2} = -\frac{A}{2} \int_{\infty}^{x^2+a^2} u^{-3/2} du$.$V(x) = -\frac{A}{2} \left[ \frac{u^{-1/2}}{-1/2} ight]_{\infty}^{x^2+a^2} = A \left[ \frac{1}{\sqrt{u}} ight]_{\infty}^{x^2+a^2}$.$V(x) = A \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} - 0 ight) = \frac{A}{(x^2+a^2)^{1/2}}$.

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