एक दीर्घवृत्त की एक नाभि $(2,-3)$ है और इसकी संगत नियता $2x+y=5$ है। यदि दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{5}}{3}$ है,तो दूसरी नाभि के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $C$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ को घेरने वाला न्यूनतम क्षेत्रफल वाला वृत्त है,जिसकी उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ और नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं। मान लीजिए $PQR$ एक चर त्रिभुज है,जिसका शीर्ष $P$ वृत्त $C$ पर है और $2$ लंबाई वाली भुजा $QR$ दीर्घवृत्त $E$ के मुख्य अक्ष के समानांतर है और $E$ के ऋणात्मक $y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। तो त्रिभुज $PQR$ का अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

दीर्घवृत्त (ellipse) के लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बिंदुपथ को क्या कहा जाता है?

यदि $\alpha x+\beta y=109$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ की उस जीवा का समीकरण है,जिसका मध्य बिंदु $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक क्या होंगे,जिसके नाभियाँ $(-2,0)$ और $(8,0)$ हैं और उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है?

यदि एक दीर्घवृत्त के लघु अक्ष के अंतिम बिंदुओं को उसकी नाभियों से जोड़ने वाली रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है