$10$ सफेद,$9$ काली और $7$ लाल गेंदों में से,एक या अधिक गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या क्या है?

$7$ पुरुषों और $7$ महिलाओं को एक गोल मेज के चारों ओर कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें?

एक हॉल में $10$ लैंप हैं। उनमें से प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से चालू किया जा सकता है। हॉल को प्रकाशित करने के तरीकों की संख्या है

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र सामान्य नहीं है। तो कुल कितने तरीकों से $X$ और $Y$ मिलकर एक पार्टी दे सकते हैं जिसमें $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित किया जाए,ताकि $X$ और $Y$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों?

कुल $12$ सदस्यों में से विदेश भेजने के लिए $6$ सदस्यों का एक समूह चुना जाना है। यह चयन कितनी तरह से किया जा सकता है कि एक विशेष सदस्य हमेशा बाहर रहे?

योग $\sum_{r=1}^{10} (r^2 + 1) \times (r!)$ किसके बराबर है?