બિંદુઓ P(-3, 2),Q(9, 10) અને R(alpha, 4) એ PR | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $PR$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle PQR = 90^\circ$ થાય. તેથી,$PQ$ અને $QR$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.$m_{PQ} = \frac{10-2}{9-(-3)} = \frac{8}{12} = \frac{2

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(A) $PR$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle PQR = 90^\circ$ થાય. તેથી,$PQ$ અને $QR$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.$m_{PQ} = \frac{10-2}{9-(-3)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.$m_{QR} = \frac{4-10}{\alpha-9} = \frac{-6}{\alpha-9}$.$m_{PQ} \cdot m_{QR} = -1$ હોવાથી,$\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{-6}{\alpha-9}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{-4}{\alpha-9} = -1$ $\Rightarrow \alpha-9 = 4$ $\Rightarrow \alpha = 13$.તેથી,$R = (13, 4)$. વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે,$O = \left(\frac{-3+13}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (5, 3)$.$Q(9, 10)$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $OQ$ ને લંબ છે. $m_{OQ} = \frac{10-3}{9-5} = \frac{7}{4}$.સ્પર્શક $QS$ નો ઢાળ $= -\frac{4}{7}$.$QS$ નું સમીકરણ: $y-10 = -\frac{4}{7}(x-9)$ $\Rightarrow 7y - 70 = -4x + 36$ $\Rightarrow 4x + 7y = 106 \quad (1)$.$R(13, 4)$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $OR$ ને લંબ છે. $m_{OR} = \frac{4-3}{13-5} = \frac{1}{8}$.સ્પર્શક $RS$ નો ઢાળ $= -8$.$RS$ નું સમીકરણ: $y-4 = -8(x-13)$ $\Rightarrow y-4 = -8x + 104$ $\Rightarrow 8x + y = 108 \quad (2)$.$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $(2)$ પરથી,$y = 108 - 8x$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:$4x + 7(108 - 8x) = 106$ $\Rightarrow 4x + 756 - 56x = 106$ $\Rightarrow 52x = 650$ $\Rightarrow x = \frac{650}{52} = 12.5 = \frac{25}{2}$.$y = 108 - 8(\frac{25}{2}) = 108 - 100 = 8$.$S = (12.5, 8)$. $S$ એ $2x - ky = 1$ પર હોવાથી:$2(12.5) - k(8) = 1$ $\Rightarrow 25 - 8k = 1$ $\Rightarrow 8k = 24$ $\Rightarrow k = 3$.

Similar Questions

ઉગમબિંદુમાંથી વર્તૂળ $x^2 + 2px + y^2 - 2qy + q^2 = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ ક્યારે હોય?

સીધી રેખા $x - y - 3 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 11 = 0$ ને જે બિંદુએ સ્પર્શે છે તેના યામ શોધો.

જો રેખા $ax+by=1$ એ વર્તુળ $S_r \equiv x^2+y^2-r^2=0$ ને સ્પર્શક હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

જો રેખા $y \cos \alpha = x \sin \alpha + a \cos \alpha$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ને સ્પર્શક હોય,તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module