सिद्ध कीजिए कि $y = \frac{4 \sin \theta}{2 + \cos \theta} - \theta$,अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में $\theta$ का एक वर्धमान फलन है।

(A) दिया गया फलन: $y = \frac{4 \sin \theta}{2 + \cos \theta} - \theta$
भागफल नियम का उपयोग करके $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{(2 + \cos \theta)(4 \cos \theta) - (4 \sin \theta)(-\sin \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{8 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} - 1$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{8 \cos \theta + 4(1)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 = \frac{8 \cos \theta + 4 - (4 + 4 \cos \theta + \cos^2 \theta)}{(2 + \cos \theta)^2}$
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{4 \cos \theta - \cos^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} = \frac{\cos \theta (4 - \cos \theta)}{(2 + \cos \theta)^2}$
अंतराल $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में,हम जानते हैं कि $\cos \theta \ge 0$ और $4 - \cos \theta > 0$ (क्योंकि $\cos \theta \le 1$ है)।
साथ ही,सभी $\theta$ के लिए $(2 + \cos \theta)^2 > 0$ है।
अतः,सभी $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए $\frac{dy}{d\theta} \ge 0$ है।
चूंकि अवकलज ऋणेतर है और फलन संवृत अंतराल में सतत है,इसलिए $y$,अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में एक वर्धमान फलन है।