सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अर्थात,हम ऐसे पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं कि $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
मान लीजिए कि $a$ और $b$ में $1$ के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है। तो हम उस उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देकर यह मान सकते हैं कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य (coprime) हैं।
अतः,$b\sqrt{3} = a$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $3b^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$3$ से विभाज्य है,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$a$ भी $3$ से विभाज्य होगा।
अतः,हम किसी पूर्णांक $c$ के लिए $a = 3c$ लिख सकते हैं।
$3b^2 = a^2$ में $a = 3c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3b^2 = (3c)^2 = 9c^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $b^2 = 3c^2$ मिलता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$3$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $3$ से विभाज्य है।
अतः,$a$ और $b$ में कम से कम $3$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
परंतु यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $\sqrt{3}$ परिमेय है। अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।