સાબિત કરો કે $(2a, 4a)$, $(2a, 6a)$ અને $(2a + \sqrt{3}a, 5a)$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2a, 4a)$, $B(2a, 6a)$ અને $C(2a + \sqrt{3}a, 5a)$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ છે તે સાબિત કરવા માટે, આપણે દર્શાવવું પડશે કે ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
$1$. બાજુ $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(2a - 2a)^2 + (6a - 4a)^2} = \sqrt{0^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$2$. બાજુ $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 6a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$3$. બાજુ $AC$ ની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 4a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
અહીં $AB = BC = AC = 2a$ હોવાથી, ત્રિકોણ $ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.