सिद्ध कीजिए कि $(2a, 4a)$, $(2a, 6a)$ और $(2a + \sqrt{3}a, 5a)$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(N/A) माना शीर्ष $A(2a, 4a)$, $B(2a, 6a)$ और $C(2a + \sqrt{3}a, 5a)$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि त्रिभुज समबाहु है, हमें यह दिखाना होगा कि तीनों भुजाओं की लंबाई बराबर है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
$1$. भुजा $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(2a - 2a)^2 + (6a - 4a)^2} = \sqrt{0^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$2$. भुजा $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 6a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$3$. भुजा $AC$ की लंबाई:
$AC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 4a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
चूंकि $AB = BC = AC = 2a$, इसलिए त्रिभुज $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।