ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું પ્રમાણ આપો:
$1+\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+n)}=\frac{2n}{n+1}$

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+n}=\frac{2n}{n+1}$
$n=1$ માટે,
$P(1): 1=\frac{2(1)}{1+1}=\frac{2}{2}=1$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1+\frac{1}{1+2}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k}=\frac{2k}{k+1}$ .........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$S_{k+1} = \left(1+\frac{1}{1+2}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k}\right)+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k+(k+1)}$
$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{k+1} = \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{\frac{(k+1)(k+2)}{2}}$ [કારણ કે $1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$]
$S_{k+1} = \frac{2k}{k+1} + \frac{2}{(k+1)(k+2)}$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(k + \frac{1}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(\frac{k^2+2k+1}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(\frac{(k+1)^2}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2(k+1)}{k+2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.