गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1+\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+n)}=\frac{2n}{n+1}$

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+n}=\frac{2n}{n+1}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): 1=\frac{2(1)}{1+1}=\frac{2}{2}=1$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1+\frac{1}{1+2}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k}=\frac{2k}{k+1}$ .........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लें:
$S_{k+1} = \left(1+\frac{1}{1+2}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k}\right)+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k+(k+1)}$
$(i)$ का उपयोग करने पर:
$S_{k+1} = \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{\frac{(k+1)(k+2)}{2}}$ [चूंकि $1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$]
$S_{k+1} = \frac{2k}{k+1} + \frac{2}{(k+1)(k+2)}$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(k + \frac{1}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(\frac{k^2+2k+1}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(\frac{(k+1)^2}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2(k+1)}{k+2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।