ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું પ્રમાણ આપો:
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + n \cdot 3^{n} = \frac{(2n - 1) 3^{n+1} + 3}{4}$

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે,
$P(n): 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + n \cdot 3^{n} = \frac{(2n - 1) 3^{n+1} + 3}{4}$
$n = 1$ માટે,
$P(1): 1 \cdot 3 = 3 = \frac{(2 \cdot 1 - 1) 3^{1+1} + 3}{4} = \frac{3^{2} + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે,
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + k \cdot 3^{k} = \frac{(2k - 1) 3^{k+1} + 3}{4}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + \ldots + k \cdot 3^{k}) + (k+1) \cdot 3^{k+1}$
$= \frac{(2k - 1) 3^{k+1} + 3}{4} + (k+1) 3^{k+1}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{(2k - 1) 3^{k+1} + 3 + 4(k+1) 3^{k+1}}{4}$
$= \frac{3^{k+1} \{2k - 1 + 4k + 4\} + 3}{4}$
$= \frac{3^{k+1} \{6k + 3\} + 3}{4}$
$= \frac{3^{k+1} \cdot 3 \{2k + 1\} + 3}{4}$
$= \frac{3^{(k+1)+1} \{2(k+1) - 1\} + 3}{4}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.