ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n): 7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$7^{1}-3^{1} = 4$,જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $m \in N$ માટે $P(m)$ સત્ય છે,એટલે કે $7^{m}-3^{m} = 4k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$7^{m} = 4k + 3^{m}$.
પગલું $3$: $n=m+1$ માટે,આપણી પાસે $7^{m+1}-3^{m+1}$ છે.
$= 7 \cdot 7^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 7(4k + 3^{m}) - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 7 \cdot 3^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 4 \cdot 3^{m}$
$= 4(7k + 3^{m})$.
કારણ કે $4(7k + 3^{m})$ એ $4$ નો ગુણક છે,તેથી $P(m+1)$ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$7^{n}-3^{n}$ એ તમામ $n \in N$ માટે $4$ વડે વિભાજ્ય છે.