સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે,$41^{n}-14^{n}$ એ $27$ નો ગુણક છે,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 41^{n}-14^{n}$ એ $27$ નો ગુણક છે.
$n=1$ માટે:
$41^{1}-14^{1} = 27$,જે $27$ નો ગુણક છે.
આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$41^{k}-14^{k} = 27m$,જ્યાં $m \in N$ ........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
$41^{k+1}-14^{k+1}$ ધ્યાનમાં લો:
$= 41 \cdot 41^{k} - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41(41^{k} - 14^{k} + 14^{k}) - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41(27m) + 41 \cdot 14^{k} - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41 \cdot 27m + 14^{k}(41 - 14)$
$= 41 \cdot 27m + 27 \cdot 14^{k}$
$= 27(41m + 14^{k})$
$= 27r$,જ્યાં $r = (41m + 14^{k})$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
તેથી,$41^{k+1}-14^{k+1}$ એ $27$ નો ગુણક છે.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.