गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए,$41^{n}-14^{n}$,$27$ का एक गुणज है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 41^{n}-14^{n}$,$27$ का एक गुणज है।
$n=1$ के लिए:
$41^{1}-14^{1} = 27$,जो $27$ का एक गुणज है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$41^{k}-14^{k} = 27m$,जहाँ $m \in N$ ........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
$41^{k+1}-14^{k+1}$ पर विचार करें:
$= 41 \cdot 41^{k} - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41(41^{k} - 14^{k} + 14^{k}) - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41(27m) + 41 \cdot 14^{k} - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41 \cdot 27m + 14^{k}(41 - 14)$
$= 41 \cdot 27m + 27 \cdot 14^{k}$
$= 27(41m + 14^{k})$
$= 27r$,जहाँ $r = (41m + 14^{k})$ एक प्राकृत संख्या है।
अतः,$41^{k+1}-14^{k+1}$,$27$ का एक गुणज है।
इस प्रकार,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।