सिद्ध कीजिए कि वक्र $y^{2}=4x$ और $x^{2}+y^{2}-6x+1=0$ बिंदु $(1,2)$ पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।

(N/A) दिए गए वक्र $C_1: y^{2}=4x$ और $C_2: x^{2}+y^{2}-6x+1=0$ हैं।
सबसे पहले,हम जांचते हैं कि क्या बिंदु $(1,2)$ दोनों वक्रों पर स्थित है:
$C_1$ के लिए: $(2)^{2} = 4(1) \implies 4 = 4$ (सत्य)।
$C_2$ के लिए: $(1)^{2} + (2)^{2} - 6(1) + 1 = 1 + 4 - 6 + 1 = 0$ (सत्य)।
अब,हम दोनों समीकरणों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $(1,2)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं।
$C_1$ के लिए: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$।
$(1,2)$ पर,$m_1 = \frac{2}{2} = 1$।
$C_2$ के लिए: $2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6-2x}{2y} = \frac{3-x}{y}$।
$(1,2)$ पर,$m_2 = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$।
चूंकि बिंदु $(1,2)$ पर दोनों वक्रों की स्पर्श रेखाओं की ढाल समान है $(m_1 = m_2 = 1)$,इसलिए वक्र दिए गए बिंदु पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।