સાબિત કરો કે વક્રો $y^{2}=4x$ અને $x^{2}+y^{2}-6x+1=0$ બિંદુ $(1,2)$ આગળ એકબીજાને સ્પર્શે છે.

(N/A) આપેલ વક્રો $C_1: y^{2}=4x$ અને $C_2: x^{2}+y^{2}-6x+1=0$ છે.
પ્રથમ,આપણે ચકાસીએ કે બિંદુ $(1,2)$ બંને વક્રો પર આવેલું છે કે નહીં:
$C_1$ માટે: $(2)^{2} = 4(1) \implies 4 = 4$ (સત્ય).
$C_2$ માટે: $(1)^{2} + (2)^{2} - 6(1) + 1 = 1 + 4 - 6 + 1 = 0$ (સત્ય).
હવે,આપણે બંને સમીકરણોનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $(1,2)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધીએ.
$C_1$ માટે: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
$(1,2)$ આગળ,$m_1 = \frac{2}{2} = 1$.
$C_2$ માટે: $2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6-2x}{2y} = \frac{3-x}{y}$.
$(1,2)$ આગળ,$m_2 = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ બંને વક્રોના સ્પર્શકોના ઢાળ સમાન હોવાથી $(m_1 = m_2 = 1)$,વક્રો આપેલ બિંદુએ એકબીજાને સ્પર્શે છે.