સાબિત કરો કે વિધેય $f(x) = |x - 1|, x \in R$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x) = |x - 1|, x \in R$ છે.
કોઈ વિધેય $f$ એ $x = c$ આગળ વિકલનીય ત્યારે જ કહેવાય જો તેનું ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ અસ્તિત્વ ધરાવતા હોય અને સમાન હોય.
$x = 1$ આગળ $LHD$:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^-}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^-}} \frac{|1 + h - 1| - |1 - 1|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^-}} \frac{|h|}{h}$.
અહીં $h < 0$ હોવાથી,$|h| = -h$,તેથી લક્ષ $-1$ મળે છે.
$x = 1$ આગળ $RHD$:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^+}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^+}} \frac{|1 + h - 1| - |1 - 1|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^+}} \frac{|h|}{h}$.
અહીં $h > 0$ હોવાથી,$|h| = h$,તેથી લક્ષ $1$ મળે છે.
અહીં $LHD = -1$ અને $RHD = 1$ હોવાથી,$LHD \neq RHD$ છે.
તેથી,વિધેય $f(x) = |x - 1|$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.