सिद्ध कीजिए कि बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ से होकर जाने वाली और रेखा $Ax + By + C = 0$ के समांतर रेखा का समीकरण $A(x - x_{1}) + B(y - y_{1}) = 0$ है।

(N/A) दी गई रेखा $Ax + By + C = 0$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर,$By = -Ax - C$,अर्थात $y = (\frac{-A}{B})x + (\frac{-C}{B})$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m = \frac{-A}{B}$ है।
चूंकि समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है,इसलिए अभीष्ट रेखा की ढाल भी $m = \frac{-A}{B}$ होगी।
रेखा के बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,$(x_{1}, y_{1})$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_{1} = m(x - x_{1})$ है।
$m = \frac{-A}{B}$ प्रतिस्थापित करने पर,$y - y_{1} = (\frac{-A}{B})(x - x_{1})$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $B$ से गुणा करने पर,$B(y - y_{1}) = -A(x - x_{1})$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$A(x - x_{1}) + B(y - y_{1}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $A(x - x_{1}) + B(y - y_{1}) = 0$ है।