સાબિત કરો કે બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ મધ્યગાઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.

(N/A) ધારો કે બે સમરૂપ ત્રિકોણો $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે. ધારો કે $AD$ અને $PS$ આ ત્રિકોણોની મધ્યગાઓ છે.
કારણ કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,તેથી:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} \quad ...(1)$
અને $\angle B = \angle Q \quad ...(2)$
$AD$ અને $PS$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$D$ અને $S$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $QR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$BD = \frac{BC}{2}$ અને $QS = \frac{QR}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QS} = \frac{BD}{QS} \quad ...(3)$
$\triangle ABD$ અને $\triangle PQS$ માં:
$\angle B = \angle Q$ [સમીકરણ $(2)$ પરથી]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QS}$ [સમીકરણ $(3)$ પરથી]
તેથી,$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ABD \sim \triangle PQS$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PS} \quad ...(4)$
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે:
$\frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2$
સમીકરણ $(4)$ પરથી,$\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PS}$ મૂકતા:
$\frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AD}{PS}\right)^2$
આમ,સાબિત થાય છે.