सिद्ध कीजिए कि $\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta},$ सर्वसमिका $\sec ^{2} \theta=1+\tan ^{2} \theta$ का उपयोग करके।

(A) इस सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए,हम $LHS$ के अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करते हैं ताकि इसे $\tan \theta$ और $\sec \theta$ के पदों में व्यक्त किया जा सके।
$LHS = \frac{\sin \theta - \cos \theta + 1}{\sin \theta + \cos \theta - 1} = \frac{\tan \theta - 1 + \sec \theta}{\tan \theta + 1 - \sec \theta}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - 1}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,अंश में $1$ का मान रखने पर:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके अंश का गुणनखंड करने पर:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$(\tan \theta + \sec \theta)$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) [1 - (\sec \theta - \tan \theta)]}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) [1 - \sec \theta + \tan \theta]}{(\tan \theta - \sec \theta + 1)}$
समान पद $(\tan \theta - \sec \theta + 1)$ को काटने पर:
$LHS = \tan \theta + \sec \theta$
$RHS$ प्राप्त करने के लिए,$(\sec \theta - \tan \theta)$ से गुणा और भाग करने पर:
$LHS = \frac{(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta)}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta - \tan^2 \theta}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} = RHS.$