गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$.

(N/A) $P(n): 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$
चरण $1$: $n=1$ के लिए,
$L.H.S. = 1+2 = 3$
$R.H.S. = 2^{1+1}-1 = 2^{2}-1 = 4-1 = 3$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात,
$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}=2^{k+1}-1 \quad \dots(i)$
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है।
$P(k+1): 1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}+2^{k+1} = 2^{(k+1)+1}-1$
$L.H.S. = (1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}) + 2^{k+1}$
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर:
$L.H.S. = (2^{k+1}-1) + 2^{k+1}$
$= 2 \times 2^{k+1} - 1$
$= 2^{k+2} - 1$
$= 2^{(k+1)+1} - 1 = R.H.S.$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।