$n$ के सभी धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए,${3^{2n}} - 2n + 1$ किससे विभाज्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,संख्याएँ $a_n$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$।
तो,$a_n$ का मान क्या है?

किन प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए,असमिका $2^n > n+1$ मान्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए,$x^{n}-y^{n}$,$x-y$ से विभाज्य है,जहाँ $x$ और $y$ कोई भी पूर्णांक हैं और $x \neq y$ है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,संख्याएँ $a_n$,$a_0=1$ और $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$ $(n \geq 0)$ द्वारा परिभाषित हैं,तो $a_n=$