$n$ ના તમામ ધન પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે,${3^{2n}} - 2n + 1$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

જો $P(n): 2^{n} < n!$ હોય,તો $P(n)$ સત્ય હોય તેવો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક કયો છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \ldots + (2n - 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$

દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,સાબિત કરો કે $7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિત કરો:
$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,સંખ્યાઓ $a_n$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$.
તો,$a_n$ ની કિંમત શું થાય?