દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,સાબિત કરો કે $7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે વિધાન $P(n): 7^{n} - 3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે ચકાસો.
$P(1): 7^{1} - 3^{1} = 4,$ જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે.
$P(k): 7^{k} - 3^{k} = 4d,$ જ્યાં $d \in \mathbb{N}.$
પગલું $3$: સાબિત કરો કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$7^{k+1} - 3^{k+1} = 7 \cdot 7^{k} - 3 \cdot 3^{k}$
$= 7 \cdot 7^{k} - 7 \cdot 3^{k} + 7 \cdot 3^{k} - 3 \cdot 3^{k}$
$= 7(7^{k} - 3^{k}) + (7 - 3) \cdot 3^{k}$
$= 7(4d) + 4 \cdot 3^{k}$
$= 4(7d + 3^{k})$
આમ,$4(7d + 3^{k})$ એ $4$ નો ગુણક હોવાથી,$P(k+1)$ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $7^{n} - 3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.