બધા $n \in N$ માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$2^{3n}-1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n): 2^{3n}-1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે આધારભૂત સ્થિતિ:
$P(1) = 2^{3(1)} - 1 = 8 - 1 = 7$,જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે:
$P(k) = 2^{3k} - 1 = 7m$,જ્યાં $m$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$2^{3k} = 7m + 1$ --- $(1)$
પગલું $3$: સાબિત કરો કે $P(k+1)$ સત્ય છે:
$P(k+1) = 2^{3(k+1)} - 1 = 2^{3k+3} - 1$
$= 2^{3k} \times 2^3 - 1$
$= (7m + 1) \times 8 - 1$ (સમીકરણ $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= 56m + 8 - 1$
$= 56m + 7$
$= 7(8m + 1)$
કારણ કે $7(8m + 1)$ એ $7$ નો ગુણક છે,તેથી $P(k+1)$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,બધા $n \in N$ માટે $2^{3n}-1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.