सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$2^{3n}-1$,$7$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $P(n): 2^{3n}-1$,$7$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए आधार स्थिति:
$P(1) = 2^{3(1)} - 1 = 8 - 1 = 7$,जो $7$ से विभाज्य है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है:
$P(k) = 2^{3k} - 1 = 7m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
इसलिए,$2^{3k} = 7m + 1$ --- $(1)$
चरण $3$: सिद्ध कीजिए कि $P(k+1)$ सत्य है:
$P(k+1) = 2^{3(k+1)} - 1 = 2^{3k+3} - 1$
$= 2^{3k} \times 2^3 - 1$
$= (7m + 1) \times 8 - 1$ (समीकरण $(1)$ का उपयोग करते हुए)
$= 56m + 8 - 1$
$= 56m + 7$
$= 7(8m + 1)$
चूंकि $7(8m + 1)$,$7$ का एक गुणज है,इसलिए $P(k+1)$,$7$ से विभाज्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,सभी $n \in N$ के लिए $2^{3n}-1$,$7$ से विभाज्य है।