दिखाइए कि $N$ पर योग संक्रिया $+$ के लिए $-a$,$a \in N$ का प्रतिलोम नहीं है और $a \neq 1$ के लिए $N$ पर गुणन संक्रिया $\times$ के लिए $\frac{1}{a}$,$a \in N$ का प्रतिलोम नहीं है।
(A) $N$ पर योग संक्रिया $+$ के लिए,तत्समक अवयव $0$ है। हालाँकि,$0 \notin N$ है। भले ही हम शर्त $a + (-a) = 0$ पर विचार करें,प्रतिलोम होने के लिए $-a$ का समुच्चय $N$ में होना आवश्यक है। किसी भी $a \in N$ के लिए,$-a$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है,इसलिए $-a \notin N$ है। अतः,$-a$,$N$ में $a$ का प्रतिलोम नहीं है।
$N$ पर गुणन संक्रिया $\times$ के लिए,तत्समक अवयव $1$ है। किसी अवयव $a \in N$ का प्रतिलोम $b \in N$ होने के लिए,$a \times b = 1$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $b = \frac{1}{a}$। किसी भी $a \in N$ जहाँ $a \neq 1$ है,$\frac{1}{a}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $\frac{1}{a} \notin N$ है। इस प्रकार,$a = 1$ को छोड़कर $N$ के किसी भी अवयव $a$ का $N$ में गुणन प्रतिलोम मौजूद नहीं है।
$N$ पर गुणन संक्रिया $\times$ के लिए,तत्समक अवयव $1$ है। किसी अवयव $a \in N$ का प्रतिलोम $b \in N$ होने के लिए,$a \times b = 1$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $b = \frac{1}{a}$। किसी भी $a \in N$ जहाँ $a \neq 1$ है,$\frac{1}{a}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $\frac{1}{a} \notin N$ है। इस प्रकार,$a = 1$ को छोड़कर $N$ के किसी भी अवयव $a$ का $N$ में गुणन प्रतिलोम मौजूद नहीं है।
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