दिखाइए कि $0.3333... = 0.\overline{3}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है।

$2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}$ और $\sqrt{2} - 3 \sqrt{3}$ को जोड़िए।

दिखाइए कि $3.142678$ एक परिमेय संख्या है। दूसरे शब्दों में,$3.142678$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है।

संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ का स्थान निर्धारित कीजिए।

कक्षा गतिविधि ('वर्गमूल सर्पिल' का निर्माण): कागज की एक बड़ी शीट लें और निम्नलिखित तरीके से 'वर्गमूल सर्पिल' का निर्माण करें। एक बिंदु $O$ से शुरू करें और $1$ इकाई लंबाई का एक रेखाखंड $OP_1$ खींचें। $OP_1$ पर लंब $1$ इकाई लंबाई का एक रेखाखंड $P_1P_2$ खींचें (चित्र देखें)। अब $OP_2$ पर लंब एक रेखाखंड $P_2P_3$ खींचें। फिर $OP_3$ पर लंब एक रेखाखंड $P_3P_4$ खींचें। इस प्रकार आगे बढ़ते हुए,आप $OP_{n-1}$ पर $1$ इकाई लंबाई का लंब खींचकर रेखाखंड $P_{n-1}P_n$ प्राप्त कर सकते हैं। इस तरह,आप बिंदु $P_2, P_3, ..., P_n, ...$ बनाएंगे और उन्हें जोड़कर $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, ...$ को दर्शाने वाला एक सुंदर सर्पिल तैयार करेंगे।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
$(i)$ प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
$(ii)$ प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
$(iii)$ प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।