સાબિત કરો કે વ્યાપ્ત વિધેય $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ હંમેશા એક-એક હોય છે.

(A) ધારો કે $f: A \rightarrow A$ એક વિધેય છે જ્યાં $A = \{1, 2, 3\}$.
ધારો કે $f$ એક-એક નથી. તો પ્રદેશ $A$ માં ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન ઘટકો એવા મળે કે જેનું સહ-પ્રદેશ $A$ માં પ્રતિબિંબ સમાન હોય.
પ્રદેશમાં $3$ ઘટકો હોવાથી,જો $f$ એક-એક ન હોય,તો વધુમાં વધુ $2$ ભિન્ન ઘટકો સહ-પ્રદેશમાં પ્રતિબિંબિત થઈ શકે.
ચોક્કસ રીતે,જો $x_1 \neq x_2$ માટે $f(x_1) = f(x_2) = y$ હોય,તો $f$ નો વિસ્તાર વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો ધરાવી શકે (પ્રતિબિંબ $y$ અને ત્રીજા ઘટકનું પ્રતિબિંબ).
જોકે,$f$ વ્યાપ્ત હોય તે માટે,વિસ્તાર સહ-પ્રદેશ જેટલો હોવો જોઈએ,જેમાં $3$ ઘટકો છે.
વિસ્તારમાં વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો હોવાથી,તે સહ-પ્રદેશ $\{1, 2, 3\}$ જેટલો હોઈ શકે નહીં.
આ ધારણા કે $f$ વ્યાપ્ત છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$f$ એક-એક હોવું જ જોઈએ.