સાબિત કરો કે વ્યાપ્ત વિધેય $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ હંમેશા એક-એક હોય છે.
(A) ધારો કે $f: A \rightarrow A$ એક વિધેય છે જ્યાં $A = \{1, 2, 3\}$.
ધારો કે $f$ એક-એક નથી. તો પ્રદેશ $A$ માં ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન ઘટકો એવા મળે કે જેનું સહ-પ્રદેશ $A$ માં પ્રતિબિંબ સમાન હોય.
પ્રદેશમાં $3$ ઘટકો હોવાથી,જો $f$ એક-એક ન હોય,તો વધુમાં વધુ $2$ ભિન્ન ઘટકો સહ-પ્રદેશમાં પ્રતિબિંબિત થઈ શકે.
ચોક્કસ રીતે,જો $x_1 \neq x_2$ માટે $f(x_1) = f(x_2) = y$ હોય,તો $f$ નો વિસ્તાર વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો ધરાવી શકે (પ્રતિબિંબ $y$ અને ત્રીજા ઘટકનું પ્રતિબિંબ).
જોકે,$f$ વ્યાપ્ત હોય તે માટે,વિસ્તાર સહ-પ્રદેશ જેટલો હોવો જોઈએ,જેમાં $3$ ઘટકો છે.
વિસ્તારમાં વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો હોવાથી,તે સહ-પ્રદેશ $\{1, 2, 3\}$ જેટલો હોઈ શકે નહીં.
આ ધારણા કે $f$ વ્યાપ્ત છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$f$ એક-એક હોવું જ જોઈએ.
ધારો કે $f$ એક-એક નથી. તો પ્રદેશ $A$ માં ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન ઘટકો એવા મળે કે જેનું સહ-પ્રદેશ $A$ માં પ્રતિબિંબ સમાન હોય.
પ્રદેશમાં $3$ ઘટકો હોવાથી,જો $f$ એક-એક ન હોય,તો વધુમાં વધુ $2$ ભિન્ન ઘટકો સહ-પ્રદેશમાં પ્રતિબિંબિત થઈ શકે.
ચોક્કસ રીતે,જો $x_1 \neq x_2$ માટે $f(x_1) = f(x_2) = y$ હોય,તો $f$ નો વિસ્તાર વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો ધરાવી શકે (પ્રતિબિંબ $y$ અને ત્રીજા ઘટકનું પ્રતિબિંબ).
જોકે,$f$ વ્યાપ્ત હોય તે માટે,વિસ્તાર સહ-પ્રદેશ જેટલો હોવો જોઈએ,જેમાં $3$ ઘટકો છે.
વિસ્તારમાં વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો હોવાથી,તે સહ-પ્રદેશ $\{1, 2, 3\}$ જેટલો હોઈ શકે નહીં.
આ ધારણા કે $f$ વ્યાપ્ત છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$f$ એક-એક હોવું જ જોઈએ.
Explore More
Similar Questions
ધારો કે $X$ અને $Y$ એ $R$ ના ઉપગણો છે,જ્યાં $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $X$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f:X \to Y$ જ્યાં $f(x) = x^2$ એ એક-એક છે પરંતુ વ્યાપ્ત નથી જો (અહીં $R^+$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે):
Easy
View Solutionસાબિત કરો કે વિધેય $f: N \rightarrow N$,જે $f(1)=f(2)=1$ અને દરેક $x>2$ માટે $f(x)=x-1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે વ્યાપ્ત છે પરંતુ એક-એક નથી.
Medium
View Solution$f: R-\{1\} \rightarrow R-\{2\}$ માટે, $f(x)=\frac{2x}{x-1}$ દ્વારા આપેલ વિધેય માટે નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
MediumWBJEE 2022
View Solutionએક-એક વિધેય $f : \{a, b, c, d\} \rightarrow \{0, 1, 2, \dots, 10\}$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી $2f(a) - f(b) + 3f(c) + f(d) = 0$ થાય.
DifficultJEE MAIN 2022
View Solutionધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(-1) + f(2) + f(4)$ ની કિંમત શોધો.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo