સાબિત કરો કે ગણ $A = \{x \in Z : 0 \leq x \leq 12\}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R = \{(a, b) : |a - b| \text{ એ } 4 \text{ નો ગુણક છે}\}$ એ સામ્ય સંબંધ છે. $1$ સાથે સંબંધિત તમામ ઘટકોનો ગણ શોધો.

(A) ગણ $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
$R = \{(a, b) : |a - b| \text{ એ } 4 \text{ નો ગુણક છે}\}$.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $a \in A$ માટે,$|a - a| = 0$,જે $4$ નો ગુણક છે. તેથી,$(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: ધારો કે $(a, b) \in R$. તો $|a - b|$ એ $4$ નો ગુણક છે. કારણ કે $|a - b| = |-(b - a)| = |b - a|$,તેથી $|b - a|$ પણ $4$ નો ગુણક છે. આમ,$(b, a) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $|a - b| = 4k_1$ અને $|b - c| = 4k_2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k_1, k_2$ માટે. તેથી $(a - b) = \pm 4k_1$ અને $(b - c) = \pm 4k_2$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(a - c) = (a - b) + (b - c) = \pm 4k_1 \pm 4k_2 = 4(\pm k_1 \pm k_2)$,જે $4$ નો ગુણક છે. તેથી,$(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
$1$ સાથે સંબંધિત ઘટકોનો ગણ $\{x \in A : |x - 1| \text{ એ } 4 \text{ નો ગુણક છે}\}$.
$|x - 1| \in \{0, 4, 8, 12, \dots\}$.
જો $|x - 1| = 0$,તો $x = 1$.
જો $|x - 1| = 4$,તો $x - 1 = 4$ અથવા $x - 1 = -4$,તેથી $x = 5$ અથવા $x = -3$ ($A$ માં નથી).
જો $|x - 1| = 8$,તો $x - 1 = 8$ અથવા $x - 1 = -8$,તેથી $x = 9$ અથવા $x = -7$ ($A$ માં નથી).
આમ,$1$ સાથે સંબંધિત ઘટકોનો ગણ $\{1, 5, 9\}$ છે.