सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $A = \{x \in Z : 0 \leq x \leq 12\}$ में दिया गया संबंध $R = \{(a, b) : |a - b| \text{, } 4 \text{ का एक गुणज है}\}$ एक तुल्यता संबंध है। $1$ से संबंधित सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

(A) समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ है।
$R = \{(a, b) : |a - b| \text{, } 4 \text{ का एक गुणज है}\}$.
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in A$ के लिए,$|a - a| = 0$,जो $4$ का गुणज है। अतः,$(a, a) \in R$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(a, b) \in R$। तब $|a - b|$,$4$ का एक गुणज है। चूँकि $|a - b| = |-(b - a)| = |b - a|$,इसलिए $|b - a|$ भी $4$ का एक गुणज है। अतः,$(b, a) \in R$। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$। तब $|a - b| = 4k_1$ और $|b - c| = 4k_2$ किन्हीं पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए। तब $(a - b) = \pm 4k_1$ और $(b - c) = \pm 4k_2$। इन्हें जोड़ने पर,$(a - c) = (a - b) + (b - c) = \pm 4k_1 \pm 4k_2 = 4(\pm k_1 \pm k_2)$,जो $4$ का एक गुणज है। अतः,$(a, c) \in R$। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,यह एक तुल्यता संबंध है।
$1$ से संबंधित अवयवों का समुच्चय $\{x \in A : |x - 1| \text{, } 4 \text{ का एक गुणज है}\}$ है।
$|x - 1| \in \{0, 4, 8, 12, \dots\}$।
यदि $|x - 1| = 0$,तो $x = 1$।
यदि $|x - 1| = 4$,तो $x - 1 = 4$ या $x - 1 = -4$,इसलिए $x = 5$ या $x = -3$ ($A$ में नहीं है)।
यदि $|x - 1| = 8$,तो $x - 1 = 8$ या $x - 1 = -8$,इसलिए $x = 9$ या $x = -7$ ($A$ में नहीं है)।
अतः,$1$ से संबंधित अवयवों का समुच्चय $\{1, 5, 9\}$ है।