वास्तविक संख्याओं x और y के लिए, हम संबंध p क | vedclass

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Question

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए, $x p x$ का अर्थ है $x-x+\sqrt{2} = \sqrt{2}$। चूंकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए $x

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स्वतुल्य (reflexive)

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(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए, $x p x$ का अर्थ है $x-x+\sqrt{2} = \sqrt{2}$। चूंकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए $x p x$ सभी $x$ के लिए सत्य है। अतः, $p$ स्वतुल्य है।$2$. सममितता: यदि $x p y$ है, तो $x-y+\sqrt{2}$ अपरिमेय है। सममितता के लिए, हम जांचते हैं कि क्या $y p x$ सत्य है, जिसका अर्थ है $y-x+\sqrt{2}$ अपरिमेय है। मान लीजिए $x=\sqrt{2}$ और $y=0$। तो $x-y+\sqrt{2} = \sqrt{2}-0+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ (अपरिमेय)। लेकिन $y-x+\sqrt{2} = 0-\sqrt{2}+\sqrt{2} = 0$ (परिमेय)। इसलिए, संबंध सममित नहीं है।$3$. संक्रामकता: यदि $x p y$ और $y p z$ है, तो $x-y+\sqrt{2} = i_1$ और $y-z+\sqrt{2} = i_2$, जहाँ $i_1, i_2$ अपरिमेय हैं। इन्हें जोड़ने पर, $x-z+2\sqrt{2} = i_1+i_2$ प्राप्त होता है। यह गारंटी नहीं देता कि $x-z+\sqrt{2}$ अपरिमेय है। इसलिए, संबंध संक्रामक नहीं है। अतः, दिया गया संबंध केवल स्वतुल्य है।

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