सिद्ध कीजिए कि यदि $f: R - \{\frac{7}{5}\} \rightarrow R - \{\frac{3}{5}\}$ को $f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और $g: R - \{\frac{3}{5}\} \rightarrow R - \{\frac{7}{5}\}$ को $g(x) = \frac{7x+4}{5x-3}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f \circ g = I_{A}$ और $g \circ f = I_{B}$ है,जहाँ $A = R - \{\frac{3}{5}\}$,$B = R - \{\frac{7}{5}\}$; $I_{A}(x) = x, \forall x \in A$,$I_{B}(x) = x, \forall x \in B$ को क्रमशः समुच्चय $A$ और $B$ पर तत्समक फलन कहा जाता है।
(A) $g \circ f = I_{B}$ सिद्ध करने के लिए,हम गणना करते हैं:
$g(f(x)) = g\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right) = \frac{7\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right) + 4}{5\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right) - 3}$
$= \frac{\frac{21x + 28 + 20x - 28}{5x - 7}}{\frac{15x + 20 - 15x + 21}{5x - 7}} = \frac{41x}{41} = x$
अतः,$g \circ f(x) = x = I_{B}(x)$ सभी $x \in B$ के लिए।
$f \circ g = I_{A}$ सिद्ध करने के लिए,हम गणना करते हैं:
$f(g(x)) = f\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right) = \frac{3\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right) + 4}{5\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right) - 7}$
$= \frac{\frac{21x + 12 + 20x - 12}{5x - 3}}{\frac{35x + 20 - 35x + 21}{5x - 3}} = \frac{41x}{41} = x$
अतः,$f \circ g(x) = x = I_{A}(x)$ सभी $x \in A$ के लिए।
इसलिए,$f \circ g = I_{A}$ और $g \circ f = I_{B}$ है।
$g(f(x)) = g\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right) = \frac{7\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right) + 4}{5\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right) - 3}$
$= \frac{\frac{21x + 28 + 20x - 28}{5x - 7}}{\frac{15x + 20 - 15x + 21}{5x - 7}} = \frac{41x}{41} = x$
अतः,$g \circ f(x) = x = I_{B}(x)$ सभी $x \in B$ के लिए।
$f \circ g = I_{A}$ सिद्ध करने के लिए,हम गणना करते हैं:
$f(g(x)) = f\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right) = \frac{3\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right) + 4}{5\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right) - 7}$
$= \frac{\frac{21x + 12 + 20x - 12}{5x - 3}}{\frac{35x + 20 - 35x + 21}{5x - 3}} = \frac{41x}{41} = x$
अतः,$f \circ g(x) = x = I_{A}(x)$ सभी $x \in A$ के लिए।
इसलिए,$f \circ g = I_{A}$ और $g \circ f = I_{B}$ है।
Explore More
Similar Questions
माना $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और प्रतिचित्रण $f: R \rightarrow R$ तथा $g: R \rightarrow R$ को $f(x) = 5 - x^2$ और $g(x) = 3x - 4$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $(f \circ g)(-1)$ का मान ज्ञात कीजिए।
यदि $f : R \rightarrow R$ को $f(x) = x^{2} - 3x + 2$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f(f(x))$ ज्ञात कीजिए।
Medium
View Solutionएक उपयुक्त रूप से चुने गए वास्तविक स्थिरांक $a$ के लिए,फलन $f: R-\{-a\} \rightarrow R$ को $f(x)=\frac{a-x}{a+x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। इसके अलावा,मान लीजिए कि किसी भी वास्तविक संख्या $x \neq-a$ और $f(x) \neq-a$ के लिए,$(f \circ f)(x)=x$ है। तो,$f\left(-\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
DifficultJEE MAIN 2020
View Solutionमान लीजिए $D = \mathbb{R} - \{0, 1\}$ और $f: D \rightarrow D$,$g: D \rightarrow D$,तथा $h: D \rightarrow D$ तीन फलन हैं जो $f(x) = \frac{1}{x}$,$g(x) = 1 - x$,और $h(x) = \frac{1}{1 - x}$ द्वारा परिभाषित हैं। यदि $j: D \rightarrow D$ इस प्रकार है कि सभी $x \in D$ के लिए $(g \circ j \circ f)(x) = f(x)$ है,तो निम्नलिखित में से $j(x)$ क्या है?
मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ क्रमशः $2$ और $1$ घात वाले दो वास्तविक बहुपद हैं। यदि $f(g(x)) = 8x^2 - 2x$ और $g(f(x)) = 4x^2 + 6x + 1$ है,तो $f(2) + g(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo