સાબિત કરો કે વક્ર $x=3 \cos \theta-\cos ^{3} \theta, y=3 \sin \theta-\sin ^{3} \theta$ પરના કોઈપણ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $4(y \cos ^{3} \theta-x \sin ^{3} \theta)=3 \sin 4 \theta$ છે.

(N/A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો:
$x = 3 \cos \theta - \cos^3 \theta$
$y = 3 \sin \theta - \sin^3 \theta$
$\theta$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -3 \sin \theta + 3 \cos^2 \theta \sin \theta = -3 \sin \theta (1 - \cos^2 \theta) = -3 \sin^3 \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \cos \theta - 3 \sin^2 \theta \cos \theta = 3 \cos \theta (1 - \sin^2 \theta) = 3 \cos^3 \theta$
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \cos^3 \theta}{-3 \sin^3 \theta} = -\cot^3 \theta$
અભિલંબનો ઢાળ:
$m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}$
બિંદુ $(x, y)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - (3 \sin \theta - \sin^3 \theta) = \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta} (x - (3 \cos \theta - \cos^3 \theta))$
$\cos^3 \theta$ વડે ગુણતા:
$y \cos^3 \theta - 3 \sin \theta \cos^3 \theta + \sin^3 \theta \cos^3 \theta = x \sin^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta + \sin^3 \theta \cos^3 \theta$
સાદુરૂપ આપતા:
$y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta = 3 \sin \theta \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta$
$y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ અને $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta = \frac{3}{2} \sin 2\theta \cos 2\theta = \frac{3}{4} \sin 4\theta$
આમ,$4(y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta) = 3 \sin 4\theta$.