સાબિત કરો કે $f : R \rightarrow R$ દ્વારા આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3}$ એક-એક (injective) છે.
(N/A) વિધેય $f(x) = x^{3}$ એક-એક (injective) છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે ધારીએ કે $f(x_1) = f(x_2)$ જ્યાં $x_1, x_2 \in R$ છે.
$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1^{3} = x_2^{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે.
આમ,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ સાબિત થાય છે,તેથી વિધેય $f$ એક-એક (injective) છે.
$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1^{3} = x_2^{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે.
આમ,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ સાબિત થાય છે,તેથી વિધેય $f$ એક-એક (injective) છે.
Explore More
Similar Questions
ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $R^{+}$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $R$ ના ઉપગણ $A$ અને $B$ માટે,$f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $x \in A$. સ્તંભ-$I$ ની વસ્તુઓને સ્તંભ-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.
સ્તંભ-$I$ સ્તંભ-$II$ $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જો $1$. $A = R^{+}, B = R$ $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી,જો $2$. $A = B = R$ $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી,જો $3$. $A = R, B = R^{+}$ $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,જો $4$. $A = B = R^{+}$
| સ્તંભ-$I$ | સ્તંભ-$II$ |
|---|---|
| $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જો | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી,જો | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી,જો | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,જો | $4$. $A = B = R^{+}$ |
DifficultAP EAMCET 2010
View Solutionધારો કે એક વિધેય $f: N \rightarrow N$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(n) = \begin{cases} 2n, & n = 2, 4, 6, 8, \dots \\ n-1, & n = 3, 7, 11, 15, \dots \\ \frac{n+1}{2}, & n = 1, 5, 9, 13, \dots \end{cases}$
તો,$f$ એ
$f(n) = \begin{cases} 2n, & n = 2, 4, 6, 8, \dots \\ n-1, & n = 3, 7, 11, 15, \dots \\ \frac{n+1}{2}, & n = 1, 5, 9, 13, \dots \end{cases}$
તો,$f$ એ
જો $f: R \rightarrow C$ એ $x \in R$ માટે $f(x)=e^{2 i x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ એ (જ્યાં $C$ એ તમામ સંકર સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવે છે)
DifficultTS EAMCET 2008
View Solutionધારો કે $Z$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $f: Z \rightarrow Z$ ને $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & x \text{ એ બેકી સંખ્યા છે} \\ 0, & x \text{ એ એકી સંખ્યા છે} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. તો $f$ એ:
જો $f: \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ એવું વિધેય હોય કે જેથી દરેક $\alpha \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $|f(\alpha) - \alpha| \leqslant 1$ થાય,તો આવા કુલ વિધેયોની સંખ્યા શોધો.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo