सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \frac{\log x}{x}$ द्वारा दिया गया फलन $x = e$ पर उच्चतम मान रखता है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
सबसे पहले,भागफल नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखते हैं:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
अब,$x = e$ पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = \frac{-1}{e^3}$.
चूंकि $f''(e) = \frac{-1}{e^3} < 0$ है,इसलिए द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,फलन $f(x)$ का $x = e$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।