સાબિત કરો કે રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ એ વક્ર $y = b \cdot e^{-x / a}$ ને તે બિંદુએ સ્પર્શે છે જ્યાં વક્ર $y$-અક્ષને છેદે છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $y = b \cdot e^{-x / a}$ આપેલ છે.
વક્ર $y$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
વક્રના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $y = b \cdot e^{0} = b \cdot 1 = b$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(0, b)$ છે.
હવે,$(0, b)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x / a} \cdot \left(-\frac{1}{a}\right) = -\frac{b}{a} e^{-x / a}$.
બિંદુ $(0, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^{0} = -\frac{b}{a}$ થાય છે.
હવે,આપેલી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ નો ઢાળ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં લખતા,$\frac{y}{b} = -\frac{x}{a} + 1$,એટલે કે $y = -\frac{b}{a}x + b$ મળે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{b}{a}$ છે.
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ અને રેખાનો ઢાળ સમાન હોવાથી અને બિંદુ $(0, b)$ વક્ર અને રેખા બંને પર હોવાથી,રેખા વક્રને $y$-અક્ષ પરના છેદબિંદુએ સ્પર્શે છે.