दर्शाइए कि बिंदु $(2,3,4), (-1,-2,1)$ और $(5,8,7)$ संरेख हैं।
(N/A) माना कि दिए गए बिंदु $A(2,3,4), B(-1,-2,1)$ और $C(5,8,7)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ के दिक अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$AB$ के दिक अनुपात $= (-1 - 2, -2 - 3, 1 - 4) = (-3, -5, -3).$
$BC$ के दिक अनुपात $= (5 - (-1), 8 - (-2), 7 - 1) = (6, 10, 6).$
हम देखते हैं कि $BC$ के दिक अनुपात $AB$ के दिक अनुपातों के $-2$ गुना हैं:
$(6, 10, 6) = -2 \times (-3, -5, -3).$
चूंकि दिक अनुपात समानुपाती हैं,इसलिए रेखाएं $AB$ और $BC$ समांतर हैं।
चूंकि बिंदु $B$ रेखा $AB$ और $BC$ दोनों में उभयनिष्ठ है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं।
अतः,बिंदु $(2,3,4), (-1,-2,1)$ और $(5,8,7)$ संरेख हैं।
रेखाखंड $AB$ के दिक अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$AB$ के दिक अनुपात $= (-1 - 2, -2 - 3, 1 - 4) = (-3, -5, -3).$
$BC$ के दिक अनुपात $= (5 - (-1), 8 - (-2), 7 - 1) = (6, 10, 6).$
हम देखते हैं कि $BC$ के दिक अनुपात $AB$ के दिक अनुपातों के $-2$ गुना हैं:
$(6, 10, 6) = -2 \times (-3, -5, -3).$
चूंकि दिक अनुपात समानुपाती हैं,इसलिए रेखाएं $AB$ और $BC$ समांतर हैं।
चूंकि बिंदु $B$ रेखा $AB$ और $BC$ दोनों में उभयनिष्ठ है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं।
अतः,बिंदु $(2,3,4), (-1,-2,1)$ और $(5,8,7)$ संरेख हैं।
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