સાબિત કરો કે મહત્તમ ઘનફળ અને આપેલી તિર્યક ઊંચાઈ ધરાવતા શંકુનો અર્ધ-શીર્ષકોણ $\tan ^{-1} \sqrt{2}$ છે.

(A) ધારો કે $\theta$ એ શંકુનો અર્ધ-શીર્ષકોણ છે.
સ્પષ્ટ છે કે $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
ધારો કે $r$,$h$ અને $l$ એ અનુક્રમે શંકુની ત્રિજ્યા,ઊંચાઈ અને તિર્યક ઊંચાઈ છે.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ અચળ આપેલ છે.
હવે,$r = l \sin \theta$ અને $h = l \cos \theta$.
શંકુનું ઘનફળ $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ અને $h$ ની કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \pi (l^2 \sin^2 \theta)(l \cos \theta) = \frac{1}{3} \pi l^3 \sin^2 \theta \cos \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં $V$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{d\theta} = \frac{\pi l^3}{3} [\sin^2 \theta(-\sin \theta) + \cos \theta(2 \sin \theta \cos \theta)]$
$= \frac{\pi l^3}{3} [-\sin^3 \theta + 2 \sin \theta \cos^2 \theta]$.
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ ઘનફળ માટે,$\frac{dV}{d\theta} = 0$ લેતા:
$\sin^3 \theta = 2 \sin \theta \cos^2 \theta \Rightarrow \tan^2 \theta = 2 \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{2} \Rightarrow \theta = \tan^{-1} \sqrt{2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા:
$\frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{\pi l^3}{3} [-3 \sin^2 \theta \cos \theta + 2 \cos^3 \theta - 4 \sin^2 \theta \cos \theta] = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 7 \sin^2 \theta \cos \theta]$.
$\tan \theta = \sqrt{2}$ હોવાથી $\sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta$ મૂકતા:
$\frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 7(2 \cos^2 \theta) \cos \theta] = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 14 \cos^3 \theta] = -4 \pi l^3 \cos^3 \theta$.
$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,$\cos \theta > 0$,તેથી $\frac{d^2V}{d\theta^2} < 0$.
આમ,જ્યારે $\theta = \tan^{-1} \sqrt{2}$ હોય ત્યારે ઘનફળ મહત્તમ થાય છે.