દર્શાવો કે કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $6q + 1$ અથવા $6q + 3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે $6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4$ અથવા $6m + 5$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક $6m + 1, 6m + 3$ અથવા $6m + 5$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
હવે,આપણે આ સ્વરૂપોના વર્ગ કરીએ:
$1.$ $(6m + 1)^2 = 36m^2 + 12m + 1 = 6(6m^2 + 2m) + 1 = 6q + 1$,જ્યાં $q = 6m^2 + 2m$ એક પૂર્ણાંક છે.
$2.$ $(6m + 3)^2 = 36m^2 + 36m + 9 = 36m^2 + 36m + 6 + 3 = 6(6m^2 + 6m + 1) + 3 = 6q + 3$,જ્યાં $q = 6m^2 + 6m + 1$ એક પૂર્ણાંક છે.
$3.$ $(6m + 5)^2 = 36m^2 + 60m + 25 = 36m^2 + 60m + 24 + 1 = 6(6m^2 + 10m + 4) + 1 = 6q + 1$,જ્યાં $q = 6m^2 + 10m + 4$ એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા $6q + 1$ અથવા $6q + 3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.