चित्र में एक खोखला आइसक्रीम कोन (यह ऊपर से खु | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $M$ द्रव्यमान,$H$ ऊँचाई और $R$ त्रिज्या वाला एक खोखला शंकु है। इसकी तिर्यक ऊँचाई $L = \sqrt{R^2 + H^2}$ है।मान लीजिए $	heta$ अर्ध-शीर्ष

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{MR^2}{2}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $M$ द्रव्यमान,$H$ ऊँचाई और $R$ त्रिज्या वाला एक खोखला शंकु है। इसकी तिर्यक ऊँचाई $L = \sqrt{R^2 + H^2}$ है।मान लीजिए $	heta$ अर्ध-शीर्ष कोण है,इसलिए $	an 	heta = R/H$.अक्ष पर शीर्ष से $y$ दूरी पर एक पतली वृत्ताकार वलय (ring) लें,जिसकी तिर्यक ऊँचाई पर मोटाई $dy$ है।इस वलय की त्रिज्या $r = y 	an 	heta$ है।वलय की तिर्यक लंबाई $dl = dy / \cos 	heta$ है।शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi R L = \pi R \sqrt{R^2 + H^2}$ है।प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = M / A = M / (\pi R \sqrt{R^2 + H^2})$ है।वलय का क्षेत्रफल $dA = 2 \pi r dl = 2 \pi (y 	an 	heta) (dy / \cos 	heta)$ है।वलय का द्रव्यमान $dm = \sigma dA = \frac{M}{\pi R \sqrt{R^2 + H^2}} \cdot 2 \pi (y 	an 	heta) \frac{dy}{\cos 	heta} = \frac{2M}{R \sqrt{R^2 + H^2}} \cdot \frac{	an 	heta}{\cos 	heta} y dy$.चूँकि $	an 	heta = R/H$ और $\cos 	heta = H/L = H/\sqrt{R^2 + H^2}$,इसलिए $\frac{	an 	heta}{\cos 	heta} = \frac{R/H}{H/L} = \frac{RL}{H^2} = \frac{R\sqrt{R^2+H^2}}{H^2}$.अतः,$dm = \frac{2M}{R\sqrt{R^2+H^2}} \cdot \frac{R\sqrt{R^2+H^2}}{H^2} y dy = \frac{2M}{H^2} y dy$.इस वलय का अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $dI = dm \cdot r^2 = (\frac{2M}{H^2} y dy) (y 	an 	heta)^2 = \frac{2M}{H^2} 	an^2 	heta \cdot y^3 dy$.$y=0$ से $y=H$ तक समाकलन करने पर:$I = \int_0^H \frac{2M}{H^2} (R/H)^2 y^3 dy = \frac{2MR^2}{H^4} \int_0^H y^3 dy = \frac{2MR^2}{H^4} [\frac{y^4}{4}]_0^H = \frac{2MR^2}{H^4} \cdot \frac{H^4}{4} = \frac{MR^2}{2}$.

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