एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB$ और $BC$ तथा माध्यिका $AD$ एक अन्य त्रिभुज $PQR$ की क्रमशः भुजाओं $PQ$ और $QR$ तथा माध्यिका $PM$ के समानुपाती हैं (आकृति देखिए)। दर्शाइए कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}$ है।
चूँकि $AD$ और $PM$ माध्यिकाएँ हैं,इसलिए $D$ और $M$ क्रमशः $BC$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं।
अतः,$BD = \frac{BC}{2}$ और $QM = \frac{QR}{2}$ है।
इन मानों को दिए गए अनुपात में रखने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM} \Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
अतः,$SSS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABD \sim \Delta PQM$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle B = \angle Q$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ (दिया है)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$SAS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूँकि $AD$ और $PM$ माध्यिकाएँ हैं,इसलिए $D$ और $M$ क्रमशः $BC$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं।
अतः,$BD = \frac{BC}{2}$ और $QM = \frac{QR}{2}$ है।
इन मानों को दिए गए अनुपात में रखने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM} \Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
अतः,$SSS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABD \sim \Delta PQM$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle B = \angle Q$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ (दिया है)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$SAS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
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