अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{y}{x} = sin x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x

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$x(y + \cos x) = \sin x + c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \sin x$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$. व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर,हमें $y \cdot x = \int x \sin x dx + c$ प्राप्त होता है। $\int x \sin x dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: माना $u = x$ और $dv = \sin x dx$ है। तब $du = dx$ और $v = -\cos x$ होगा। $\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x$. अतः,$xy = -x \cos x + \sin x + c$. पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $xy + x \cos x = \sin x + c$ प्राप्त होता है,जिसे $x(y + \cos x) = \sin x + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

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