अवकल समीकरण x = 1 + xyfrac{dy}{dx} + frac{(xy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया समीकरण $x = 1 + xy\frac{dy}{dx} + \frac{(xy)^2}{2!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \dots$ है। यह घातांकीय फलन $e^u$ का टेलर श्रेणी विस्तार

Vedclass · Accepted Answer

$y = \pm \sqrt{(\log_e x)^2 + 2C}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण $x = 1 + xy\frac{dy}{dx} + \frac{(xy)^2}{2!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \dots$ है। यह घातांकीय फलन $e^u$ का टेलर श्रेणी विस्तार है,जहाँ $u = xy\frac{dy}{dx}$ है। अतः,समीकरण को $x = e^{xy\frac{dy}{dx}}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log_e x = xy\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है। चरों को पृथक करने पर,$y \, dy = \frac{\log_e x}{x} \, dx$ मिलता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \int \frac{\log_e x}{x} \, dx$। माना $t = \log_e x$,तब $dt = \frac{1}{x} \, dx$। अतः,$\frac{y^2}{2} = \frac{(\log_e x)^2}{2} + C$। $2$ से गुणा करने पर,$y^2 = (\log_e x)^2 + 2C$ प्राप्त होता है। अतः,$y = \pm \sqrt{(\log_e x)^2 + 2C}$।

अवकल समीकरण $x = 1 + xy\frac{dy}{dx} + \frac{(xy)^2}{2!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{(xy)^3}{3!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \dots$ का हल है

Similar Questions

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}} = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ का प्रारंभिक स्थिति $x = 0, y = 1$ के साथ विशिष्ट हल . . . . . . है।

यदि $c$ कोई स्वेच्छ अचर है,तो अवकल समीकरण $ydx - xdy = xy\,dx$ का व्यापक हल क्या होगा?

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x-y} + x^2e^{-y}$ का हल है...

यदि दिए गए अवकल समीकरण $(e^y+1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ का हल $y(x)$ बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ से होकर गुजरता है,तो $e^{y(\frac{\pi}{6})}$ का मान ........... है।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module